想必现在有很多小伙伴对于如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=ax^{2}+bx-8$与$x$轴交于两点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，直线$l$经过坐标原点$O$，与抛物线的一个交点为点$D$，与抛物线的对称轴交于点$E$，连接$CE$，已知点$A$，$D$的坐标分别为$\left(-2,0\right)$，$\left(6,-8\right)$.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点$E$的坐标；（3）试探究在$x$轴下方的抛物线上是否存在点$F$，使得$\triangle FOB$和$\triangle EOB$的面积相等，若存在，请求出点$F$的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点$P$是$y$轴负半轴上的一个动点，设其坐标为$\left(0,m\right)$，直线$PB$与直线$l$交于点$Q$，请直接写出：当$m$为何值时，$\triangle OPQ$是等腰三角形.","title_text":"如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=ax^{2}+bx-8$与$x$轴交于两点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，直线$l$经过坐标原点$O$，与抛物线的一个交点为点$D$，与抛物线的对称轴交于点$E$，连接$CE$，已知点$A$，$D$的坐标分别为$\left(-2,0\right)$，$\left(6,-8\right)$.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点$E$的坐标；（3）试探究在$x$轴下方的抛物线上是否存在点$F$，使得$\triangle FOB$和$\triangle EOB$的面积相等，若存在，请求出点$F$的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点$P$是$y$轴负半轴上的一个动点，设其坐标为$\left(0,m\right)$，直线$PB$与直线$l$交于点$Q$，请直接写出：当$m$为何值时，$\triangle OPQ$是等腰三角形.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=ax^{2}+bx-8$与$x$轴交于两点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，直线$l$经过坐标原点$O$，与抛物线的一个交点为点$D$，与抛物线的对称轴交于点$E$，连接$CE$，已知点$A$，$D$的坐标分别为$\left(-2,0\right)$，$\left(6,-8\right)$.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点$E$的坐标；（3）试探究在$x$轴下方的抛物线上是否存在点$F$，使得$\triangle FOB$和$\triangle EOB$的面积相等，若存在，请求出点$F$的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点$P$是$y$轴负半轴上的一个动点，设其坐标为$\left(0,m\right)$，直线$PB$与直线$l$交于点$Q$，请直接写出：当$m$为何值时，$\triangle OPQ$是等腰三角形.","title_text":"如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=ax^{2}+bx-8$与$x$轴交于两点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，直线$l$经过坐标原点$O$，与抛物线的一个交点为点$D$，与抛物线的对称轴交于点$E$，连接$CE$，已知点$A$，$D$的坐标分别为$\left(-2,0\right)$，$\left(6,-8\right)$.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点$E$的坐标；（3）试探究在$x$轴下方的抛物线上是否存在点$F$，使得$\triangle FOB$和$\triangle EOB$的面积相等，若存在，请求出点$F$的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点$P$是$y$轴负半轴上的一个动点，设其坐标为$\left(0,m\right)$，直线$PB$与直线$l$交于点$Q$，请直接写出：当$m$为何值时，$\triangle OPQ$是等腰三角形.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

1、（1）将点$Aleft(-2,0right)$、$Dleft(6,-8right)$代入$y=ax^{2}+bx-8$，

2、得：$left{begin{array}{}4a-2b-8=0 36a+6b-8=-8end{array}right.$，

3、解得：$left{begin{array}{}a=dfrac{1}{2} b=-3end{array}right.$，

4、$therefore $抛物线的函数表达式为$y=dfrac{1}{2}x^{2}-3x-8$；

5、（2）设直线$l$的解析式为$y=kx$，

6、将$Dleft(6,-8right)$代入，得：$6k=-8$，

7、解得：$k=-dfrac{4}{3}$，

8、$therefore $直线$l$的解析式为$y=-dfrac{4}{3}x$，

9、又抛物线的对称轴为$x=-dfrac{-3}{2times dfrac{1}{2}}=3$，

10、$therefore $点$E$的坐标为$left(3,-4right)$；

11、（3）存在，

12、设点$Fleft(x,dfrac{1}{2}x^{2}-3x-8right)$，

13、$because S_{triangle FOB}=S_{triangle EOB}$，即$dfrac{1}{2}OBcdot y_{F}=dfrac{1}{2}OBcdot y_{E}$，

14、$therefore y_{F}=y_{E}$，即$dfrac{1}{2}x^{2}-3x-8=-4$，

15、解得：$x=3pm sqrt{17}$，

16、$therefore $点$F$的坐标为$(3-sqrt{17}$，$-4)$或$(3+sqrt{17}$，$-4)$.

17、$left(4right))$①如图$1$

18、当$OP=OQ$时，$triangle OPQ$是等腰三角形.

19、$because $点$E$坐标$left(3,-4right)$，

20、$therefore OE=sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，过点$E$作直线$ME$∥$PB,$交$y$轴于点$M$，交$x$轴于点$H$.则$dfrac{OM}{OP}=dfrac{OE}{OQ}$，

21、$therefore OM=OE=5$，

22、$therefore $点$M$坐标$left(0,-5right)$.

23、设直线$ME$的解析式为$y=k_{1}x-5$，

24、$therefore 3k_{1}-5=-4$，

25、$therefore k_{1}=dfrac{1}{3}$，

26、$therefore $直线$ME$解析式为$y=dfrac{1}{3}x-5$，

27、令$y=0$，得$dfrac{1}{3}x-5=0$，解得$x=15$，

28、$therefore $点$H$坐标$left(15,0right)$，

29、$because MH$∥$PB$，

30、$therefore dfrac{OP}{OM}=dfrac{OB}{OH}$，即$dfrac{-m}{5}=dfrac{8}{15}$，

31、$therefore m=-dfrac{8}{3}$，

32、②如图$2$，

33、当$QO=QP$时，$triangle POQ$是等腰三角形.

34、$because $当$x=0$时，$y=dfrac{1}{2}x^{2}-3x-8=-8$，

35、$therefore $点$C$坐标$left(0,-8right)$，

36、$therefore CE=sqrt{3^{2}+left(8-4right)^{2}}=5$，

37、$therefore OE=CE$，

38、$therefore angle 1=angle 2$，

39、$because QO=QP$，

40、$therefore angle 1=angle 3$，

41、$therefore angle 2=angle 3$，

42、$therefore CE$∥$PB$，

43、设直线$CE$交$x$轴于$N$，解析式为$y=k_{2}x-8$，

44、$therefore 3k_{2}-8=-4$，

45、$therefore k_{2}=dfrac{4}{3}$，

46、$therefore $直线$CE$解析式为$y=dfrac{4}{3}x-8$，

47、令$y=0$，得$dfrac{4}{3}x-8=0$，

48、$therefore x=6$，

49、$therefore $点$N$坐标$left(6,0right)$，

50、$because CN$∥$PB$，

51、$therefore dfrac{OP}{OC}=dfrac{OB}{ON}$，

52、$therefore dfrac{-m}{8}=dfrac{8}{6}$，

53、$therefore m=-dfrac{32}{3}$.

54、③$OP=PQ$时，显然不可能，理由，

55、$because Dleft(6,-8right)$，

56、$therefore angle 1 lt angle BOD$，

57、$because angle OQP=angle BOQ+angle ABP$，

58、$therefore angle PQO gt angle 1$，

59、$therefore OPneq PQ$，

60、综上所述，当$m=-dfrac{8}{3}$或$-dfrac{32}{3}$时，$triangle OPQ$是等腰三角形.

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