想必现在有很多小伙伴对于如图$1$，已知直线$l$垂直线段$AB$于点$B$，点$P$是直线$l$上异于点$B$的一个动点，线段$AP$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$CP$，线段$BP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$DP$，连结$AC$，$BD$，$CD$，$CD$与直线$l$交于点$E$，$AB=4$.$(1)$如图$2($点$P$在点$B$上方时），过点$C$作直线$l$的垂线，垂足为$F$.①求证：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的长.$(2)$在点$P$的运动过程中，点$P$，$E$，$B$三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应$CD$的长，若不存在，说明相应理由.","title_text":"如图$1$，已知直线$l$垂直线段$AB$于点$B$，点$P$是直线$l$上异于点$B$的一个动点，线段$AP$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$CP$，线段$BP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$DP$，连结$AC$，$BD$，$CD$，$CD$与直线$l$交于点$E$，$AB=4$.$(1)$如图$2($点$P$在点$B$上方时），过点$C$作直线$l$的垂线，垂足为$F$.①求证：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的长.$(2)$在点$P$的运动过程中，点$P$，$E$，$B$三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应$CD$的长，若不存在，说明相应理由.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图$1$，已知直线$l$垂直线段$AB$于点$B$，点$P$是直线$l$上异于点$B$的一个动点，线段$AP$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$CP$，线段$BP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$DP$，连结$AC$，$BD$，$CD$，$CD$与直线$l$交于点$E$，$AB=4$.$(1)$如图$2($点$P$在点$B$上方时），过点$C$作直线$l$的垂线，垂足为$F$.①求证：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的长.$(2)$在点$P$的运动过程中，点$P$，$E$，$B$三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应$CD$的长，若不存在，说明相应理由.","title_text":"如图$1$，已知直线$l$垂直线段$AB$于点$B$，点$P$是直线$l$上异于点$B$的一个动点，线段$AP$绕点$P$顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段$CP$，线段$BP$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$DP$，连结$AC$，$BD$，$CD$，$CD$与直线$l$交于点$E$，$AB=4$.$(1)$如图$2($点$P$在点$B$上方时），过点$C$作直线$l$的垂线，垂足为$F$.①求证：$\triangle ABP$≌$\triangle PFC.$②求$PE$的长.$(2)$在点$P$的运动过程中，点$P$，$E$，$B$三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应$CD$的长，若不存在，说明相应理由.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

1、$(1)$①证明：如图$1$，$because angle ABP=angle APC=angle PFC=90^{circ}$，$therefore angle APB+angle PAB=90^{circ}$。

2、$angle APB+angle CPF=90^{circ}$，$therefore angle APB=angle CPF$，在$triangle APB$和$triangle PCF$中。

3、$left{begin{array}{l}{∠ABP=∠PFC}{∠APB=∠CPF}{AP=CP}end{array}right.$，$therefore triangle APB$≌$triangle PCFleft(AASright)$；②由①得：$triangle APB$≌$triangle PCF$，$therefore BP=CF$。

4、$PF=AB=4$，$because PD=BP$，$therefore CF=PD$。

5、$because angle CFE=angle DPE=90^{circ}$，$angle CEF=angle DEP$，$therefore triangle PED$≌$triangle FECleft(AASright)$。

6、$therefore PE=EF=frac{1}{2}PF=2$；$(2)$如图$1$，当$P$是$BE$的中点，$PB=PE=2$。

7、$therefore PD=PB=2$，$therefore DE=sqrt{P{D}^{2}+P{E}^{2}}=2sqrt{2}$，由②得$,triangle PED$≌$triangle FEC$。

8、$therefore CE=DE=2sqrt{2}$，$therefore CD=CE+DE=4sqrt{2}$，如图$2$。

9、当$B$是$PE$的中点时，由②知：$PE=EF=2$，$therefore BE=PB=frac{1}{2}PE=1$。

10、$therefore PD=PB=1$，在$Rttriangle PED$中，$DE=sqrt{P{D}^{2}+P{E}^{2}}=sqrt{5}$。

11、$therefore CD=2DE=2sqrt{5}$，如图$3$，当$E$是$PB$的中点。

12、此时$F$点$B$点重合，$therefore DP=BP=BC=CF=4$，$therefore CE=DE=sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2sqrt{5}$。

13、$therefore CD=2CE=4sqrt{5}$，综上所述：$CD$的长为$4sqrt{2}$或$2sqrt{5}$或$4sqrt{5}$.。

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

版权说明：本文由用户上传，如有侵权请联系删除！

标签：