相信目前很多小伙伴对于在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义若线段OE， A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D都比较感兴趣，那么小洋洋今天在网上也是收集了一些与在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义若线段OE， A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D相关的信息来分享给大家，希望能够帮助到大家哦。

1、（1）如图1，

点D的坐标为（-1，0）．
故答案为（-1，0）；

（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2．

∵点A的坐标为（3，4），
∴AC=AO=32+42=5，AF=3，OF=4．
∵点A（3，4）在直线y=kx+1上，
∴3k+1=4，
解得k=1．
设直线y=x+1与y轴相交于点G，
当x=0时，y=1，点G（0，1），OG=1，
∴FG=4-1=3=AF，
∴∠FGA=45°，AG=32+32=32．
在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=32．
在Rt△ABC中，BC=AC2-AB2=25-18=7．
∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB•BC=314；

（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，
则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．
∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0，
∴xy≤5．
当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形． 
①当点D在第四象限时，如图3，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N，
易证RtAMB≌Rt△DNA，
则有AN=BM=2，DN=AM=1，
∴点D的坐标为（1+2，-3+1）即（3，-2）．
②当点D在第三象限时，如图4，

过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M，
易证RtANB≌Rt△DMA，
则有DM=AN=1，AM=BN=2，
∴点D的坐标为（1-2，-3+1）即（-1，-2）．  
故答案分别为：5、（3，-2）或（-1，-2）． （1）只需根据新定义画出图形就可解决问题；
（2）过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2，根据点A（3，4）在直线y=kx+1上可求出k，设直线y=x+1与y轴相交于点G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根据勾股定理可求出AG、AB、BC的值，从而可求出“理想矩形”ABCD面积；
（3）设“理想矩形”的一组邻边长分别为x、y，则有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“理想矩形”是正方形，然后分点D在第四象限（如图3）和第三象限（如图4）两种情况讨论，就可解决问题．

1、本题考点：圆的综合题 完全平方式 勾股定理 矩形的性质 特殊角的三角函数值

2、考点点评：本题主要考查了用待定系数法求直线的解析式、圆的定义、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想，运用公式（x-y）2=x2+y2-2xy推出当“理想矩形”是正方形时面积最大是解决第3小题的关键．

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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