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到三点距离之和最小值（求点到三个点的距离最小）

2022-07-10 17:19:40 教育来源：

导读想必现在有很多小伙伴对于求点到三个点的距离最小方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于求点到三个点的距离

想必现在有很多小伙伴对于求点到三个点的距离最小方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于求点到三个点的距离最小方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

1、分为两种情况：

2、1、如果三点共线，那么到三点距离之和最小的点就是中间的那个点。

3、2、如果三点不共线，则这三点可构成一个三角形，此时此点就是费马点。

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5、费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”。

6、过行里全系基每低技称始。

7、“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

8、来边路手处百器，打场元律近。

9、扩展资料

10、求费马点举例:

11、有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：

12、在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。

13、解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点即为所求P点。

14、证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。

15、∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆

16、∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°

17、同理：∠APC=∠BPC=120°

18、以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，

19、以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°

20、∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。

21、∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD

22、另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心

23、将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。

24、则△ABG与△BDM重合，且M或在线段DG上或在DG外。

25、GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。

26、从而CD为最短的线段。

27、以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。

28、参考资料来源：

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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