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(本小题满分11分)（已知:正方形ABCD.(1)如图①,E,F分别是边CD,AD上的一点,且AE⊥BF,求证:AE=BF.(2)M,N,E,F分别在边AB,CD,AD,BC上,且MN=EF,那么MN⊥EF?请画图表示,并作简要说明:(3)如图④,将正方形ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,折痕为MN,若已知该正方形边长为12,MN的长为13,求CE的长.","title_text":"(本小题满分11分) 已知:正方形ABCD.(1)如图①,E,F分别是边CD,AD上的一点,且AE⊥BF,求证:A

2022-07-22 21:02:00 企业新闻来源：

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1、(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,

2、∴AB=AD,∠BAF=∠ADE=90°,---------------------1分

3、∵AE⊥BF,

4、∴∠BAE+∠ABF=90°,------------------------------2分

5、∵∠BAE+∠DAE=90°, ∴∠ABF=∠DAE,

6、在△BAF和△ADE中,

7、,

8、∴△BAF≌△ADE(ASA),∴AE=BF; ………………4-分

9、(2)解:MN与EF不一定垂直;----------------------5分

10、如图1所示,当MN=EF时,MN⊥EF 如图2所示,当MN=EF时,MN与EF就不垂直了;

11、理由如下:过点E作EG⊥BC于点G,过点M作MP⊥CD于点P,

12、设EF与MN相交于点O,MP与EF相交于点Q,

13、∵四边形ABCD是正方形,

14、∴EG=MP,………………6分

15、在Rt△EFG和Rt△MNP中, ,

16、∴Rt△EFG≌Rt△MNP(HL),

17、∴∠MNP=∠EFG, ∵MP⊥CD,∠C=90°, ∴MP∥BC, ∴∠EQM=∠EFG=∠MNP,

18、又∵∠MNP+∠NMP=90°, ∴∠EQM+∠NMP=90°,

19、在△MOQ中,∠MOQ=180°﹣(∠EQM+∠NMP)=180°﹣90°=90°,

20、∴MN⊥EF,

21、当E向D移动,F向B移动,同样使MN=EF,此时就不垂直,

22、故此,MN与EF不一定垂直; -----------------------------------8分

23、(3)解:如图3所示,连接AE,

24、则线段MN垂直平分AE, 过点B作BF∥MN,

25、则四边形MNBF是平行四边形, ∴BF=MN,且AE⊥BF,

26、由(1)知AE=BF=MN=13,

27、由勾股定理得:DE===5,

28、∴CE=CD﹣DE=12﹣5=7.--------------------------------------------11分

29、26解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),∴OA=2,OB=1。

30、由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO,∴,即,解得OC=4。

31、∴点C的坐标为(4,0)。………………2分

32、(2)设过A、B、C三点的抛物线的解析式为,

33、将A(0,2)代入,得,解得。

34、∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为,即。

35、4分

36、∵,∴抛物线的对称轴为。…………5分

37、(3)过点P作x轴的垂线,垂足为点H。

38、∵点P(m,n)在上,

39、∴P。

40、∴,

41、,

42、。

43、∴

44、∵,∴当时,S最大。

45、当时,。∴点P的坐标为(2,3)。…… 8分

46、(4)存在。点M的坐标为()或()或()或()或()。…………13分

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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