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如图PA⊥面ABC△ABC是边长为a的正三角形且PB与面ABC所成角为60°．①求二面角P-BC-A的正切；②求三棱锥P-ABC的体积．","title_text":"如图PA⊥面ABC△ABC是边长为a的正三角形且PB与面ABC所成角为60°．①求二面角P-BC-A的正切；②求三棱锥P-ABC的体积．介绍(如图PA⊥面ABC△ABC是边长为a的正三角形且PB与面ABC所成角为60°．①求二面角P-BC-A的正切；②求三棱锥P-ABC的体积．","title_text":"如图PA⊥面ABC△ABC是边长
2022-08-22 03:21:53 教育 来源：
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1、（1）如图，∵△ABC是边长为a的正三角形，且PB与面ABC所成角为60°。
2、∴PB=PC=2a，PA=$sqrt{3}a$，取BC的中点D。
3、连接AD，PD，可知AD⊥BC。
4、PD⊥BC，则∠PDA为二面角P-BC-A的平面角，在等边三角形ABC中。
5、求得AD=$frac{sqrt{3}}{2}a$，又PA=$sqrt{3}a$，∴tan∠PDA=$frac{PA}{AD}=frac{sqrt{3}a}{frac{sqrt{3}}{2}a}=2$。
6、即二面角P-BC-A的正切值为2；（2）∵PA⊥面ABC，且PA=$sqrt{3}a$，等边三角形ABC的边长为a。
7、则${V}_{P-ABC}=frac{1}{3}×frac{1}{2}{a}^{2}×frac{sqrt{3}}{2}×sqrt{3}a=frac{1}{4}{a}^{3}$．。
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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