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  2012年广东高考数学试题及答案(理科)

  2012年广东高考数学试题及答案（理科）

  本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

  一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

  1．设i为虚数单位，则复数

  A．B．C．D．

  2．设集合，则

  A．B．C．D．

  3．若向量，则

  A．B．C．D．

  4．下列函数中，在区间上为增函数的是

  A．BC．D．

  5．已知变量满足约束条件，则的最大值为

  A．12B．11C．3D．-1

  6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

  A．B．C．D．

  7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是

  A．B．C．D．

  8．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则

  A．B．C．D．

  二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．

  （一）必做题（9～13题）

  9．不等式的解集为___________．

  10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）

  11．已知递增的等差数列满足，则________．

  12．曲线在点处的切线方程为__________．

  13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．

  （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

  14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的

  参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为．

  15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足，过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P，则PA=．

  三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

  16．（本小题满分12分）

  已知函数（其中）的最小正周期为．

  （1）求的值；

  （2）设，求的值．

  17．（本小题满分13分）

  某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

  [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

  (1)求图中x的值;

  (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．

  18．（本小题满分13分）

  如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．

  （1）证明：平面；

  （2）若，求二面角的正切值．

  19．（本小题满分14分）

  设数列的前项和为，满足，且成等差数列．

  （1）求的值；

  （2）求数列的通项公式；

  （3）证明：对一切正整数，有．

  20．（本小题满分14分）

  在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3．

  （1）求椭圆C的方程

  （2）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．

  ）

  21．（本小题满分14分）

  设，集合，．

  （1）求集合D（用区间表示）；

  （2）求函数在D内的极值点．

  参考答案

  选择题答案：1-8：DCAABCDC

  填空题答案：

  9.

  10.20

  11.

  12.

  13.8

  14.

  15.

  解答题答案

  16.

  （1）

  （2）代入得

  ∵

  ∴

  ∴

  17.

  （1）由得

  （2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人

  随机变量的可能取值有0,1,2

  ∴

  18.

  （1）∵

  ∴

  ∵

  ∴

  ∴

  （2）设AC与BD交点为O，连

  ∵

  ∴

  又∵

  ∴

  ∴

  ∴

  ∴为二面角的平面角

  ∵

  ∴

  ∴

  ∴

  在，

  ∴

  ∴二面角的平面角的正切值为3

  19.

  （1）在中

  令得：

  令得：

  解得：，

  又

  解得

  （2）由

  得

  又也满足

  所以成立

  ∴

  ∴

  ∴

  （3）

  （法一）∵

  ∴

  ∴

  （法二）∵

  ∴

  当时，

  ………

  累乘得：

  ∴

  20.

  （1）由得，椭圆方程为

  椭圆上的点到点Q的距离

  当①即,得

  当②即,得（舍）

  ∴

  ∴椭圆方程为

  （2）

  当，取最大值，

  点O到直线距离

  ∴

  又∵

  解得：

  所以点M的坐标为

  的面积为

  21.

  （1）记

  ①当，即，

  ②当，

  ③当，

  （2）由得

  ①当，

  ②当，∵

  ∴

  ∴

  ③当，则

  又∵

  ∴

本文到此结束，希望对大家有所帮助。

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