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如图在四棱锥P－ABCD中底面ABCD是平行四边形AB＝AC＝2PB⊥AC．（（1）求证平面PAB⊥平面PAC； （2）若∠PBA＝45°试判断棱PA上是否存在与点PA不重合的点E使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 若存在求出的值；若不存在请说明理由．","title_text":"如图在四棱锥P－ABCD中底面ABCD是平行四边形AB＝AC＝2PB⊥AC． （1）求证平面PAB⊥平面PAC； （2）若∠PBA＝45°试判断棱PA上是否存在与点PA不重合的点E使得直线CE与平面PB
2022-07-25 03:56:20 科技 来源：
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1、证明：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，，所以。
2、又AB=AC=2，所以AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB。
3、又PB⊥AC，且AB∩PB=B，所以AC⊥平面PAB。
4、因为AC⊂平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．解：（2）由（1）知AC⊥AB，AC⊥平面PAB。
5、如图，分别以AB，AC所在直线为x轴、y轴。
6、平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则由∠PBA=45°。
7、，可得P（-1，0。
8、3），所以，假设棱PA上存在点E。
9、使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为，设，则。
10、，设平面PBC的法向量为，则。
11、即，令z=1，可得x=y=1。
12、所以平面PBC的一个法向量为，设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则=。
13、整理得3λ2+4λ=0，因为0＜λ＜1，所以3λ2+4λ＞0。
14、故3λ2+4λ=0无解，所以棱PA上不存在与点P，A不重合的点E。
15、使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．。
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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